L'ultimo teorema di Fermat by Simon Singh

autore:Simon Singh
La lingua: ita
Format: epub
editore: BUR
pubblicato: 2012-03-18T16:00:00+00:00

Primo teorema di indecidibilità

Se la teoria assiomatica stabilita è coerente, esistono teoremi che non possono essere né dimostrati né confutati.

Secondo teorema di indecidibilità

Non esiste un procedimento costruttivo che dimostri la coerenza della teoria assiomatica.

La prima affermazione in sostanza significava che qualunque siano gli assiomi utilizzati, ci saranno questioni alle quali la matematica non saprà rispondere e dunque la completezza non potrà mai essere raggiunta. Peggio ancora, la seconda affermazione significava che i matematici non potranno mai essere certi che gli assiomi da loro scelti non conducano a una contraddizione, ossia la coerenza della matematica non può mai essere dimostrata. All’età di soli venticinque anni Gödel aveva mostrato che il programma di Hilbert era impossibile.

Anche se il secondo teorema di Gödel affermava che era impossibile dimostrare la coerenza degli assiomi, questo non significava necessariamente che fossero incoerenti. Molti matematici erano ancora in cuor loro convinti che la matematica restasse un sapere coerente, anche se con la mente non potevano dimostrarlo. Molti anni dopo il grande teorico dei numeri André Weil disse: «Dio esiste poiché la matematica è coerente ed esiste anche il Diavolo perché non possiamo dimostrare la coerenza della matematica».

Per comprendere meglio il teorema di indecidibilità di Gödel, la sua origine e le sue implicazioni, si può ricorrere a un analogo paradosso della logica greca antica, che è attribuito a Epimenide di Creta ed è conosciuto come il paradosso del Mentitore. Epimenide esclamò: «Io sono un mentitore!». Il paradosso sorge quando cerchiamo di stabilire se quest’affermazione è vera o falsa. Vediamo prima cosa succede se assumiamo che l’affermazione è vera. La verità dell’affermazione implica che Epimenide sia un mentitore, ma ciò contrasta con il nostro assunto iniziale che egli ha fatto un’affermazione vera e che dunque non è un mentitore: siamo davanti a un’incongruenza. D’altro canto vediamo cosa succede se assumiamo che l’affermazione sia falsa. La falsità dell’affermazione implica che Epimenide non sia un mentitore, ma noi abbiamo assunto inizialmente che egli abbia fatto un’affermazione falsa e che perciò Epimenide è un mentitore: siamo di fronte a un’altra incongruenza. Sia che assumiamo la verità o la falsità dell’affermazione finiamo per incontrare una contraddizione e perciò l’affermazione non è né vera né falsa, ma viene definita indecidibile.

Gödel reinterpretò il paradosso del mentitore introducendovi il concetto di dimostrazione. Ne risultò questo tipo di affermazione:

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