Difficoltà in matematica by Rosetta Zan

autore:Rosetta Zan [Zan, Rosetta]
La lingua: ita
Format: epub
pubblicato: 2012-04-26T12:41:21+00:00

Naturalmente i due metodi possono essere combinati: ad esempio in un problema matematico di dimostrazione il processo risolutivo spesso è una continua trasformazione della tesi alla luce delle ipotesi, e delle ipotesi in vista della tesi5.

Come abbiamo detto il caso dei problemi di matematica sta particolarmente a cuore agli psicologi della Gestalt. Duncker esamina a fondo il caso dei problemi di tipo dimostrativo, confrontando i procedimenti che partono dall’analisi dell’obiettivo con quelli che partono dall’analisi dei dati: Se voglio far capire a qualcuno una dimostrazione, posso avvalermi di procedimenti ben diversi, a seconda che prenda l’avvio soprattutto da quanto è dato o invece soprattutto da quanto è richiesto.

I casi estremi sono:

A – Cerco, per quanto è possibile, di far scaturire la dimostrazione dall’al-to, dall’obiettivo, dall’enunciato, chiedendomi: ‘Da cosa potrebbe derivare l’enunciato? Che cosa è necessario?’

B – Oppure comincio dal basso, chiedendomi: ‘Che cosa è dato?’. Cioè sviluppo dalle premesse date varie inferenze, che si congiungono in seguito in modo sorprendente nella dimostrazione dell’enunciato.

Il primo modo lo chiamerei ‘organico’. […] Il secondo, il modo opposto, è quello ‘meccanico’ [Duncker, 1935, tr. it. pp. 84-85].

Lo psicologo confronta i due modi di procedere sul seguente teorema:

Teorema

Il punto di intersezione delle tre perpendicolari ai punti mediani dei lati di un triangolo è il centro del cerchio circoscritto.

5 L’analisi dell’obiettivo e l’analisi della situazione richiamano rispettivamente le strategie Top Down e Bottom Up, formalizzate in ambito informatico, poi estese ad indicare due tipi di approccio alla soluzione di un problema, ed utilizzate quindi anche in altri contesti (come la psicologia e le neuroscienze). Nel modello Top Down la progettazione del sistema (la risoluzione del problema) viene affrontata in modo globale, individuando sottoproblemi che si affrontano successivamente, e così via, procedendo dall’alto verso il basso, finché il sistema non è completamente specificato (il problema completamente risolto); nel modello Bottom Up si specificano (si risolvono) le varie parti del sistema (sotto-problemi) che poi vengono messe insieme a formare componenti più complesse, e così via, procedendo dal basso verso l’alto. Nella maggior parte dei casi in realtà si usa una combinazione dei due metodi.

6 Problem solving

152

B

D

E

M

A

C

F

Dimostrazione 1

Dimostrazione 2

Che cosa significa

Collego il punto di intersezione

‘centro del cerchio circoscritto’?

delle tre perpendicolari, M, con

È evidentemente il punto in cui

A, B, e C e considero (dapprima)

la distanza dai tre vertici è uguale;

i triangoli MAD e MBD.

quindi:

Qui AD = BD; inoltre

MA = MB = MC.

MDA = MBD = angolo retto (per

Bisognerebbe dimostrarlo.

ipotesi). Quindi i due triangoli,

MA e MB sono lati dei triangoli

avendo il lato MD in comune,

MAD e MBD. Quindi si dovrebbe

sono uguali.

(se possibile) dimostrare che

Quindi MA = MB, ecc.

questi triangoli sono uguali.

Ciò significa allora che M

In effetti AD = BD, inoltre

è il centro del cerchio circoscritto.

MDA = MDB = angolo retto

(per ipotesi). Quindi i triangoli,

avendo il lato MD in comune,

sono uguali, quindi MA = MB, ecc.

Secondo Duncker “dal punto di vista didattico è raccomandabile, sia pure a spese della brevità e della «eleganza», procedere il più possibile in modo organico e intraprendere il minor numero possibile di esplicitazioni delle premesse che l’allievo debba seguire alla cieca” ( ibidem, p.

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