Il codice della creatività by Marcus Du Sautoy

Il codice della creatività by Marcus Du Sautoy

autore:Marcus Du Sautoy [Du Sautoy, Marcus]
La lingua: ita
Format: epub
ISBN: 9788858697818
editore: Rizzoli
pubblicato: 2019-12-18T23:00:00+00:00


Le origini della dimostrazione

L’inizio di questo gioco della dimostrazione matematica risale agli antichi greci, che scoprirono che l’argomentazione logica aveva il potere di accedere a verità eterne sui numeri e le figure. La dimostrazione sta di fatto al cuore della matematica; è il sacro graal di cui un matematico è alla ricerca per farsi un nome. Per guadagnare il premio da un milione di dollari, dovete dimostrare che una delle sette congetture è vera. Per vincere una medaglia Fields, dovete trovare una dimostrazione che faccia colpo sui vostri colleghi matematici. E il libro delle regole che ha dato il calcio d’avvio a questo grande gioco sono probabilmente gli Elementi di Euclide.

L’analogia degli scacchi ci sarà di nuovo utile per spiegare il funzionamento del gioco della dimostrazione matematica. Avete un insieme iniziale di affermazioni, chiamate «assiomi», che sono un po’ come l’equivalente del modo in cui disponiamo i pezzi sulla scacchiera all’inizio di una partita a scacchi. Gli Elementi di Euclide si aprono con questi assiomi, che costituiscono un elenco di affermazioni sui numeri e la geometria che i matematici considerano come di per sé evidenti: sono cose che tutti possiamo accettare come vere. È senz’altro vero che potremmo sbagliarci riguardo alla verità di questi assiomi, ma in un certo senso ciò non conta ai fini del gioco che stiamo per giocare; semplicemente, prendiamo questi assiomi come delle verità. E quando guardiamo il tipo di affermazioni fatte da Euclide, è corretto dire che sembrano del tutto accettabili come verità fondamentali.

Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una linea. Se A = B e B = C, ne segue che A = C. Dato un qualunque segmento di linea retta, è possibile tracciare una circonferenza che abbia quel segmento come proprio raggio. A + B = B + A.

Ora che sappiamo come mettere i pezzi sulla scacchiera, dobbiamo imparare come si gioca. Come i pezzi degli scacchi sono sottoposti a determinate regole che stabiliscono in che modo possono muoversi, così ci sono delle regole di deduzione logica che ci consentono di scrivere nuove verità basate su ciò che sappiamo fino a questo punto. Per esempio, la regola del Modus Ponens asserisce che se abbiamo stabilito che l’affermazione A deve implicare l’affermazione B, e se abbiamo inoltre stabilito che l’affermazione A è vera, possiamo allora dedurre che l’affermazione B è a sua volta vera. La regola complementare del Modus Tollens asserisce invece che se abbiamo mostrato che l’affermazione A deve implicare l’affermazione B, ma in questo caso abbiamo anche appreso che l’affermazione B è falsa, possiamo concludere che l’affermazione A è a sua volta falsa.

Quest’ultima regola viene usata negli Elementi per dimostrare che la radice quadrata di 2 non può essere scritta sotto forma di frazione. Se potesse essere scritta come una frazione, giocando il gioco degli scacchi matematici e facendo una sequenza di mosse logiche, arriveremmo infine alla conclusione assurda che i numeri dispari sono pari; ma dato che noi sappiamo che i numeri dispari non sono pari, applicando la regola del



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