Infinito by Umberto Bottazzini

autore:Umberto , Bottazzini [Bottazzini, Umberto]
La lingua: ita
Format: epub
Tags: La cultura scientifica, Intersezioni
ISBN: 9788815350183
editore: Societa editrice il Mulino Spa
pubblicato: 2018-09-14T22:00:00+00:00

FIG. 6.2. Da Leibniz, Nova methodus.

A rigore, il metodo del giudice tolosano non ha a che fare con infiniti e infinitesimi, ma solleva questioni destinate a essere a lungo dibattute tra fautori e critici della nuova analisi. Infatti, nel procedimento si fanno assunzioni tra loro contraddittorie: dapprima si considerano come eguali espressioni che non lo sono – sono (ad)eguali, dice Fermat prendendo a prestito un termine da Diofanto (adaequentur, ut loquitur Diophantus) – ma lo diventano ponendo uguale a zero una quantità E dopo aver (tacitamente) supposto che invece sia diversa da zero. Insomma, il metodo funziona, ma sembra comportare una misteriosa compensazione degli errori, come l’avrebbero chiamata in seguito i matematici.

Nella Nova methodus Leibniz entra subito in medias res introducendo fin dalle prime righe i differenziali: date curve qualunque riferite agli assi cartesiani, chiama dx un segmento «preso ad arbitrio» e dy «un segmento che stia a dx come y sta a AX» (v. fig. 6.2). Ciò posto, continua Leibniz senza una parola di spiegazione, «le regole del calcolo saranno queste».

Se a = costante da = 0 e dax = adx e poi le regole di differenziazione della somma, prodotto, divisione e potenze con esponente qualunque, ancora senza una parola di giustificazione giacché, afferma Leibniz (non senza ironia), la dimostrazione «sarà facile per chi è versato in questi studi». Aver introdotto i differenziali in questo modo a partire dalle tangenti, senza inoltrarsi in delicate questioni di infinitesimi, è solo un’efficace strategia espositiva poiché egli è poi costretto ad affermare che «trovare la tangente è condurre una retta che congiunga due punti aventi distanza infinitesima, o tracciare il lato prolungato di un poligono infinitangolo che per noi equivale alla curva». E qui ricompaiono il triangolo caratteristico e i differenziali dx e dy: «quella distanza infinitesima è sempre nota per mezzo di qualche differenziale come dy o può essere espressa per mezzo di una relazione con esso». Con una serie di esempi Leibniz mostra poi che quanto annunciato nel titolo non è una vanteria, prima di concludere orgogliosamente che «questi invero sono soltanto gl’inizi di una geometria molto più sublime».

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