L'equazione degli alef by Carlo Toffalori;

autore:Carlo, Toffalori; [Toffalori, Carlo ]
La lingua: ita
Format: epub
Tags: La cultura scientifica, Voci
ISBN: 9788815356024
editore: Societa editrice il Mulino Spa
pubblicato: 2019-08-15T00:00:00+00:00

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[1] Non abbiamo qui lo spazio per descriverli per esteso, e quindi rimandiamo a loro riguardo ai manuali di teoria degli insiemi. Per dirla in termini un po’ grossolani, due insiemi bene ordinati determinano lo stesso ordinale se condividono non solo la stessa cardinalità ma anche la stessa disposizione dei loro elementi.

VIII.

Colei che la si crede

Si diceva che in matematica ogni dimostrazione parte dagli assiomi. Per risolvere l’ipotesi del continuo, occorreva quindi stabilire preliminarmente quelli degli insiemi e cioè cogliere ed esprimere i fondamenti dell’infinito. Traguardo tre volte impegnativo, perché il concetto di insieme era fresco di nascita, al tempo stesso indistinto e sottile, di conseguenza ancora più bisognoso di chiarificazione. Cantor, in verità, non volle mai accostarlo per via assiomatica, preferendo semmai definirlo in modi che oggi ci appaiono forse fascinosi, tuttavia impacciati e scientificamente inadeguati. Un «Molti che si possa pensare come Uno»: questa è, tanto per fare un esempio, la descrizione che se ne fornisce nelle Grundlagen. Frase enigmatica, ricca di sottintesi e di richiami a Platone, e però, matematicamente parlando, abbastanza goffa. Le incertezze che derivavano da questa e altre definizioni, e che Poincaré stigmatizzò, imposero a poco a poco un inquadramento assiomatico rigoroso.

Del resto una nozione di insieme ancora ingenua e acerba finiva per originare nella neonata teoria cantoriana imbarazzanti paradossi. Ne citiamo due tra i più famosi.

Il primo, in genere riferito allo stesso Cantor, che in effetti ne scrisse a Dedekind nel 1899, riguarda l’unione di tutti gli insiemi, che è di conseguenza l’insieme U più grande che si può immaginare, e quindi ammette la cardinalità massima possibile. Sappiamo d’altra parte che l’insieme delle successioni di 0 e 1 a indici in U, o volendo l’insieme delle parti di U, hanno cardinalità ancora maggiore. S’arriva così a una contraddizione.

Ma la più famosa delle antinomie sugli insiemi è il così detto paradosso di Russell, perché fu Bertrand Russell a proporlo nel primissimo Novecento. Prende spunto dalle due seguenti premesse:

l’insieme di tutti gli insiemi si appartiene, cioè è elemento di se stesso, perché è un insieme;

d’altra parte ci sono insiemi che non si appartengono, cioè non sono elementi di se stessi, per esempio l’insieme vuoto, che non si appartiene perché è vuoto.

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