La matematica e l'esistenza di Dio by Antonio Ambrosetti

autore:Antonio Ambrosetti [Ambrosetti, Antonio]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Lindau
pubblicato: 0101-01-01T00:00:00+00:00

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Teoremi e realtà

I teoremi che si dimostrano in Matematica, specie in Geometria o in Algebra, sono a volte degli enunciati astratti che riguardano concetti introdotti dai matematici stessi.

Ci sono poi materie come Analisi o, in generale, Matematica Applicata, in cui si affrontano problemi più concreti, cercando dei risultati che descrivano e spieghino le leggi della natura: dai fenomeni fisici (propagazione del calore, vibrazioni delle membrane elastiche, movimenti planetari ecc.) a quelli biologici ed economici.

In questi casi vengono elaborati dei modelli matematici in cui si cerca di descrivere il fenomeno sotto osservazione in modo abbastanza semplice e schematico. Sulla base di questi modelli vengono dimostrati dei teoremi che li spiegano rigorosamente. Successivamente, si passa a considerare un modello più sofisticato che tenga conto maggiormente della natura specifica del fenomeno.

Si crea così una utilissima sinergia tra la Matematica e le applicazioni alle altre scienze che ci permette di capire sempre meglio la complessità delle leggi della Natura.

Molta della Fisica, da quella classica a quella più moderna come la Meccanica Quantistica, si è sviluppata in questo modo.

Nei passaggi che ho descritto occorre sempre tenere a mente che i teoremi che si provano hanno pur sempre una validità in qualche modo teorica: si limitano a spiegare quel particolare modello. Bisogna fare attenzione a non voler estrapolare questi risultati e utilizzarli ovunque, facendoli diventare quasi onnipotenti.

Spero che alcuni esempi possano servire a spiegarmi meglio.

Nello studio dei moti dei pianeti nel sistema solare si dimostra la validità delle Leggi di Keplero (cfr. [G10]) (per esempio la I legge: un pianeta percorre intorno al Sole un’orbita ellittica) a partire dalla Legge della Gravitazione Universale (cfr. [G11]) di Newton.

Per far questo si usa un modello in cui viene presa in considerazione solo l’attrazione reciproca tra il Sole e un pianeta, mentre vengono trascurati gli influssi gravitazionali degli altri pianeti o dei loro satelliti.

Questo risultato, che pure ebbe un’eco straordinaria quando Newton lo dimostrò, si limita tuttavia a descrivere un modello estremamente semplificato che prende in considerazione solo due corpi.

In effetti, la presenza degli altri pianeti modifica, seppure di poco, le orbite che non sono perfettamente ellittiche e subiscono delle perturbazioni. Per tener conto di queste perturbazioni sono stati introdotti modelli più complessi.

Prima è stato studiato il Problema dei 3 Corpi Ristretto, in cui si tiene conto di un terzo corpo «piccolo» rispetto agli altri due. Successivamente si è passati al caso generale di N corpi che interagiscono tra loro: il cosiddetto Problema degli N Corpi (cfr. [G12]) che è ancora oggi oggetto di studi difficili. Si tratta, dunque, di modelli parziali che non spiegano completamente il moto dei pianeti.

Un altro esempio suggestivo è il Teorema di Ricorrenza di Poincaré (si veda l’enunciato e la dimostrazione nella sezione n. 16 di [4]).

In parole povere, esso afferma che se un sistema fisico si evolve occupando uno spazio limitato, per esempio se si conserva l’energia (con un termine tecnico, il sistema è conservativo), allora esiste un tempo T > 0 in cui il sistema ritorna vicino quanto si vuole al punto di partenza.

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