L'aritmetica di cupido by Carlo Toffalori

autore:Carlo Toffalori [Toffalori, Carlo]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Guanda
pubblicato: 2011-03-21T23:00:00+00:00

Dissertare perché la notte sia notte, il giorno giorno, il tempo tempo, sarebbe perdere la notte, il giorno, il tempo.

Shakespeare nel suo Amleto è fin troppo esplicito e brutale. Ma forse non ha tutti i torti, e in ogni caso la sua citazione giunge a puntino per chiudere il discorso.

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Numeri e turbamenti

C’è poi il caso singolare del numero i. Già il nome (i per «immaginario») vale a sottolinearne l’assoluta improbabilità. Una pura invenzione dei matematici, lontana da ogni verosimiglianza e da ogni realtà, un numero che non esiste: così in genere lo cataloga la gente comune quando ne sente parlare. Perfino Leibniz, che pure giungeva ad ammettere gli infinitesimi, non mancò di definire i un «anfibio tra l’essere e il non essere». Come si fa infatti a pretendere che un numero sensato ammetta un quadrato negativo? Eppure questa sarebbe proprio la prerogativa di i, di essere la radice quadrata di — 1. Magia, dunque, come magia sono tutti quei numeri complessi che proprio a partire da i e dai reali la matematica costruisce.

Né i tentativi di accreditare i nella mentalità comune si rivelano abbastanza convincenti da riscuotere un consenso senza riserve.

Si ha un bel raccontare quell’aneddoto pur vero del Cinquecento, del matematico italiano Bombelli che studiava le equazioni di grado 3 e le formule che sono capaci di risolverle e, affrontando in particolare quella innocentissima che ha forma x3 — 15 x – 4 = 0, ne ricavò la soluzione 4. Ora, 4 è un numero a tutti gli effetti e non un sogno visionario; solo la fantasia malata dei professori matti di Rucker può dubitarne, nessuna persona con un minimo di comprendonio vorrà escluderlo da una aritmetica pur minima di sopravvivenza.

Di più, è facile controllare che 4 è veramente soluzione dell’equazione in questione, visto che 4 al cubo vale 64 e, una volta che da 64 si sottraggono prima 15 per 4, e cioè 60, e poi 4, alla fine si trova 0. Ma il guaio è che, per arrivare a questa incontestabile conclusione applicando accuratamente le formule generali di soluzione, il Bombelli si trovò a un certo punto dei suoi calcoli a dover estrarre la radice quadrata di — 121, ovvero 11 i se i c’è, e pura illusione altrimenti, dunque all’alternativa tra proseguire assumendo l’esistenza di i o troncare brutalmente il discorso. Bene, è un dato di fatto che, continuando i suoi conti col coinvolgimento di i, Bombelli giunse finalmente al fatidico 4, che del resto di i non conserva più traccia alcuna: conclusione che dovrebbe suscitare nei confronti di i e dei numeri complessi, se non altro, un minimo di stupita attenzione.

Oppure, si ha un bell’escogitare raffinati esempi geometrici, che mostrano come un quadrato possa davvero essere — 1; proporre in particolare il caso di una circonferenza che ruota sul suo centro di 90 gradi in senso antiorario; mostrare come, ripetendo due volte il movimento, dunque quadrandolo, la circonferenza finisce per girare di 180 gradi e dunque porta ogni suo punto agli antipodi, nella posizione opposta a quella iniziale, in — 1 se in partenza era 1.

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