Esercizi scelti di Algebra by Rocco Chirivì & Ilaria Del Corso & Roberto Dvornicich

autore:Rocco Chirivì & Ilaria Del Corso & Roberto Dvornicich
La lingua: ita
Format: epub
ISBN: 9788847039834
editore: Springer Milan

e ciò vale se e solo se

Questa condizione diventa quindi

da cui semplificando abbiamo , per ogni e . Allora è un automorfismo se e solo se per ogni si ha come automorfismi di . Cioè, nel gruppo l’automorfismo commuta con ogni per in . Ciò è come dire che .

(ii)Ragionando come sopra, ed usando gli stessi simboli, abbiamo che è un automorfismo di se e solo se

e quindi se e solo se

per ogni e . Quindi se e solo se per ogni vale come elementi di . Ma allora visto che è un omomorfismo, tale condizione è equivalente a per ogni .

In particolare, se allora ; ciò prova la prima condizione. Questo ci permette inoltre di definire, per passaggio al quoziente, l’applicazione . Ed usando di nuovo quanto provato su otteniamo che e quindi la seconda condizione.

Viceversa se valgono le due condizioni del testo abbiamo che per ogni . In particolare e quindi . Da cui deduciamo che è un automorfismo per quanto provato sopra.

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