Finalmente ho capito! A cosa serve la matematica: Un metodo, un linguaggio e uno strumento per descrivere il mondo, spiegati a tutti con la massima chiarezza by Giuseppe Bruzzaniti Ugo Bruzzo

autore:Giuseppe Bruzzaniti, Ugo Bruzzo [Bruzzaniti, Giuseppe & Ugo, Bruzzo]
La lingua: ita
Format: epub
Tags: Science, General, Mathematics
ISBN: 9788869874567
Google: e066DgAAQBAJ
editore: Vallardi
pubblicato: 2017-04-22T22:00:00+00:00

FORSE NON TI RICORDI CHE…

Le radici quadrate, e in generale le radici di qualunque ordine, sono un esempio della nozione di radice di un’equazione algebrica. In particolare, la definizione di radice ci dice che “dati n+1 numeri a0 … an, questi definiscono un’equazione algebrica di grado n: anxn + a n - 1xn-1 + … + a1 x + a0 = 0 la cui radice x è un numero che verifica l’uguaglianza”.

Ora, un numero reale x si dice “algebrico” se è radice di un’equazione algebrica con coefficienti a0 …an razionali; un numero reale non algebrico si dice “trascendente”. Un esempio di numero reale trascendente è dato da π, la cui trascendenza fu dimostrata nel 1882 da Ferdinand von Lindemann. In questo modo egli chiuse, definitivamente e in maniera negativa, il problema della quadratura del cerchio, che consiste nel determinare - usando solo riga e compasso - un quadrato la cui area sia uguale a quella di un cerchio dato. Von Lindemann mostrò infatti che trovare questo particolare quadrato equivarrebbe a dire che π è algebrico.

19.Ci sono più numeri algebrici o più numeri trascendenti?

Prima di rispondere a questa domanda, dobbiamo trovare risposta a un altro quesito, ovvero: «Esistono più numeri razionali o più numeri reali?».

Nonostante sembri piuttosto sorprendente, possiamo prima di tutto dimostrare che i numeri razionali Q sono in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali N, ossia che essi sono “tanti quanti i numeri naturali”. La dimostrazione di questa corrispondenza biunivoca è opera di George F. Cantor. Consideriamo dapprima solo i numeri razionali positivi e scriviamoli nella notazione p/q, assumendo che p e q siano primi fra loro, ossia che p e q non abbiano divisori comuni. Poi ordiniamo le frazioni p/q in una tabella come quella di Fig. 15, disponendo i p crescenti secondo le righe e i q crescenti secondo le colonne. La tabella così costruita è chiaramente infinita e, in particolare, si estende all’infinito verso il basso e verso destra. Possiamo facilmente mettere in corrispondenza gli elementi di questa tabella con i naturali positivi “numerando” le caselle della tabella. In particolare, seguendo le frecce di Fig. 15, avremo che la casella numero 1 sarà quella, in alto a sinistra, contenete il numero 1/1; la casella numero 2 sarà quella, sotto la casella numero 1, che contiene il numero 2/1; la 3 sarà quella contenente il numero 1/2; la 4 quella che contiene il numero 1/3, e così via. In questo modo, possiamo far corrispondere a ogni casella, ovvero a ogni numero razionale positivo, un numero naturale positivo in maniera biunivoca:

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