Guida alla teoria degli insiemi by Gabriele Lolli

autore:Gabriele Lolli [Lolli, Gabriele]
La lingua: ita
Format: epub
Tags: General, Teaching Methods & Materials, Mathematics, Logic, 9788847007680, Education, History & Philosophy
ISBN: 9788847007697
Google: HXH4kclRsEEC
editore: Springer Science & Business Media
pubblicato: 2008-05-27T17:48:23+00:00

X 

…

G• X

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@B  {xxxxxxxx

X

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(iii) X è il più piccolo insieme che soddisfa (i) e (ii), nel senso che per ogni altro X e famiglia di gn soddisfacenti le stesse due condizioni, esiste h: X −→ X tale che per ogni n gn = gn ◦ h: 3.11 Famiglie e operazioni su insiemi

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f0

fn

X

G

• • •G

• • •

G

• • •G

0

X1 g

…

G Xn

Xn+1

g g g

gn

g

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n+1

{xxxxxxxx

g g gn X1

g

g

g

n+1

1 h

3g # 1 z

X

Esiste una definizione analoga duale di sistema inverso e di limite inverso, che si ottengono invertendo le frecce.

I limiti si estendono anche a sistemi più complicati di quelli di tipo ω.

Tra le famiglie di insiemi sono importanti i filtri, e i loro duali, gli ideali.

Si tratta di una generalizzazione della nozione originata in algebra. Un filtro su A è una famiglia F ⊆ P(A) tale che

(i) se X, Y ∈ F allora X ∩ Y ∈ F ,

(ii) se X ∈ F e X ⊆ Y allora Y ∈ F.

Il filtro è proprio se F

P(A), ovvero se non contiene ∅. Un filtro proprio è massimale, o ultrafiltro, se è massimale rispetto alla inclusione ⊆ tra sot-tofamiglie di P(A); in modo equivalente, è massimale se per ogni X ⊆ A o A ∈ F o A \ X ∈ F.

Ogni filtro è contenuto in un filtro massimale, come applicazione di uno dei lemmi di massimalità, ad esempio il lemma di Zorn (vedi oltre).

Esistono diversi tipi di filtri e ultrafiltri a seconda di diverse proprietà possibili. Abbiamo già ricordato la nozione di k-completezza. Un filtro su A è principale se esiste a ∈ A tale che F = {X ⊆ A: a ∈ X}.

Se A è finito, ogni ultrafiltro su A è principale.

Gli ultrafiltri, come abbiamo visto, sono collegati alla nozione di misura, che si può anche dare come funzione a valori in {0, 1}.

Dualmente, un ideale su A è una famiglia F ⊆ P(A), ideale proprio se F

P(A), tale che

(i) se X, Y ∈ F allora X ∪ Y ∈ F ,

(ii) se Y ∈ F e X ⊆ Y allora X ∈ F.

Se F è un filtro su I, allora a ogni prodotto A

i∈I

i si associa il prodotto

ridotto modulo F, indicato da (

A

i∈I

i)/F che è costituito dalle classi di

equivalenza degli elementi del prodotto rispetto alla relazione f ≡F g se e solo se {i ∈ I: f (i) = g(i)} ∈ F .

Il prodotto ridotto è un ultraprodotto se F è un ultrafiltro.

Su questi insiemi e sistemi di insiemi, quando sono il supporto di strutture, si trasporta anche la struttura. Le costruzioni indicate, e altre, sulle strutture sono la sostanza dell’algebra.

3 La teoria

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Che gli insiemisti amino lavorare soprattutto a questo livello di generalità è stato già accennato a proposito dei numeri naturali e dell’opportunità di evitarli nelle dimostrazioni in teoria degli insiemi. Un altro esempio è quello della nozione di ordine, che ammette una riduzione insiemistica più radicale di quella che introduce le relazioni come insiemi di coppie ordinate. Si possono usare di nuovo solo famiglie di insiemi, ed evitare la coppia ordinata.

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