La somma dei quadrati by Silvia Benvenuti

autore:Silvia Benvenuti [Benvenuti, Silvia]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Treccani
pubblicato: 2023-09-27T22:00:00+00:00

Non solo quadrati

Torniamo per un attimo ai triangoli rettangoli: Pitagora ci assicura che la superficie del quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma di quelle dei quadrati costruiti sui cateti. Ma cosa succederebbe se, invece di costruire quadrati, sui lati del triangolo rettangolo costruissimo pentagoni, o ennagoni, o pentadecagoni (mai sentito, eh?!), o icosagoni, e in generale poligoni regolari di un numero arbitrario di lati? E cosa succederebbe se costruissimo dei semicerchi? E delle stelle? E…?

La risposta ce la dà, già nel 300 a.C., il buon Euclide nel sesto libro degli Elementi, come sempre ricalcando, probabilmente, un risultato già noto da almeno un secolo, dovuto pare a Ippocrate di Chio (l’ennesimo pitagorico). Dice in proposito Proclo (1978, pp. 339-340):

Mi compiaccio con l’Autore degli Elementi non solo perché ci ha convinto [del teorema di Pitagora] con la dimostrazione più perspicua [vedi capitolo 2], ma anche perché nel sesto libro è riuscito a concepire un teorema più generale di questo, confermandolo con gli elementi inconfutabili della scienza. Dimostra infatti in quello in senso generale che nei triangoli rettangoli la figura descritta a partire dal lato che sottende l’angolo retto è eguale alle figure simili e similmente poste descritte a partire dai lati comprendenti l’angolo retto.

Tradotto dal proclese, il risultato mirabile di Euclide è che qualunque sia la figura F, la superficie della sua copia simile F i costruita sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è pari alla somma delle superfici delle copie simili F 1 e F 2 costruite sui cateti. Dove “simili” non vuol dire, come nel linguaggio naturale, che si assomigliano un pochino, ma significa che hanno la stessa forma (da chiarire cosa questo voglia dire) ed eventualmente diversa grandezza. Due quadrati, per esempio, qualsiasi sia il loro lato sono tra loro simili, perché sono semplicemente riscalati uno rispetto all’altro (come noi boomer facevamo da giovani con il pantografo, e facciamo oggi sul nostro modernissimo tablet touch screen perché ormai siamo presbiti, e leggere è diventata un’impresa). Lo stesso succede per due qualsiasi poligoni regolari di uguale numero di lati, ma anche per figure non regolari, a patto che si modifichino solo “in scala” e relativamente all’orientazione nel piano.

Le stelle S1, S2 e S3 della figura 3.5, per esempio, sono simili, ovvero possiamo trasformarle una nell’altra ingrandendole o riducendole, ruotandole e spostandole nel piano, senza però modificarne la forma; la stella S4, invece, non è simile alle altre due, perché avendo una punta in più hai voglia a giocare di touch screen, non riuscirai mai a fargliela sparire.

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